2023/2024
Uganke piše in ureja: Žan Arsov
Rubikove kocke
Prijatelji se igrajo z Rubikovimi kockami, katerih stranice so dolge 4 cm. Po igri jih pospravijo v škatlo z višino 4 cm in presekom v obliki kvadrata s stranico 11 cm. Med pospravljanjem ugotovijo, da lahko vse svoje kocke spravijo v eno škatlo, vendar pa na koncu v škatli ni več prostora za nobeno dodatno kocko.
(a) Koliko Rubikovih kock imajo prijatelji?
(b) Ko so prijatelji pospravljali kocke, so dve obrnili z belo ploskvijo navzgor, eno z rumeno ploskvijo navzgor, preostale pa z modro ploskvijo navzgor. Ko se jim je pridružil nov prijatelj, so mu prekrili oči s prevezo in mu dali navodilo, naj iz škatle v naključnem vrstnem redu vleče kocke. Kolikšna je verjetnost, da v škatli najprej zmanjka kock, ki sta obrnjeni z belo ploskvijo navzgor?
Čarovnikove žarnice
S prijateljem iz prve zagonetke (Podzemna zakladnica) že nekaj časa lenobno poležavata na karibskih plažah in pridno zapravljata dragocene žlahtne kovine, ki sta si jih priborila pri starem čarovniku. Nekoč ugotovita, da je vajino bogastvo že skoraj pošlo. Nekaj dni pozneje po morju priplava steklenica s pismom. Ko s prijateljem odpreta steklenico, presenečena ugotovita, da je pismo poslal prav stari čarovnik, ki vaju vabi na novo preizkušnjo. Nemudoma se odločita, da bosta vabilo sprejela, zato sledita navodilom v pismu, ki vaju vodijo do skrivne votline nedaleč stran.
Tam vaju čaka čarovnik, ki vama predstavi nov izziv. V votlini se nahaja soba, v kateri je na eni steni šestnajst enakih gumbov. Na nasprotni steni so druga poleg druge pritrjene štiri enake žarnice, ki so na začetku ugasnjene, vendar lahko gorijo v beli ali rumeni svetlobi. Štirinajst gumbov je naključno povezanih z žarnicami (več gumbov lahko prižiga in ugaša isto žarnico), dva gumba pa nista povezana z nobeno žarnico. Ko bo tvoj prijatelj s čarovnikom čakal v sosednji sobi, lahko ti poljubno pritiskaš na stikala. Na ta način ugotoviš, kateri gumb je povezan s katero žarnico, v kateri barvi gori žarnica ob pritisku na ta gumb, in katera dva gumba sta odvečna. Pred odhodom iz sobe lahko eno ali več žarnic pustiš prižganih. Zatem bo čarovnik v sobo privedel tvojega prijatelja, ki bo smel pritisniti na natanko en gumb, nato pa ugotoviti, katera dva gumba nimata funkcije (nista povezana z nobeno žarnico). Če uspešno opravita preizkus, vaju bo čarovnik nagradil z veliko skrinjo zlata. V nasprotnem primeru bosta za vedno ostala zaprta v votlini. Se lahko s prijateljem domislita zmagovalne strategije?
Galebova pot
Nekje sredi morja je šest ribiških ladij, ki so razporejene v obliki pravilnega šestkotnika. Razdalja med sosednjima ladjama, oz. stranica šestkotnika, ki ga tvorijo ladje, je 1 kilometer. V nekem trenutku se kapitani dogovorijo za sestanek, zato se začne vseh šest ladij naenkrat premikati po najkrajši poti proti središču šestkotnika, in sicer s hitrostjo 1 meter na sekundo. V tem času se okoli ladij smuka sestradan galeb, ki se približa posamezni ladji in če se le da ribičem ukrade kakšno ribo. Ker ga ribiči hitro prepodijo, se pri vsaki ladji zadrži zanemarljivo malo časa. Prvo ladjo doseže v trenutku, ko se vseh šest ladij prične premikati proti mestu srečanja. Zatem s hitrostjo 10 metrov na sekundo leta od ene ladje do druge, in sicer v skladu z naslednjimi pravili:
- Galeb začne pri naključni ladji. Če tam dobi ribo, naslednjo obišče sosednjo ladjo (gledano v nasprotni smeri urinega kazalca). Ča na prvi ladji ne dobi ribe, leti na nasprotno ladjo.
- Ko se galeb premakne na drugo ladjo, ponovi 1. korak. Če že drugič zapored ne dobi ribe, ne leti spet na nasprotno ladjo (saj bi tako prišel do tiste ladje, pri kateri je začel), vendar se premakne za dve ladji v nasprotni smeri urinega kazalca.
- Ko galeb prispe do tretje ladje, ponovi 1. korak, ne glede na to, ali je že dobil kakšno ribo ali ne. V tem koraku je torej možno, da prispe na že obiskano ladjo.
Znano je, da se je galebu posrečilo v prvo dobiti ribo, nato je dvakrat ostal brez, nato je spet dobil ribo, spet dvakrat ostal brez, itd. Kolikšna je skupna pot, ki jo je med ladjami prepotoval galeb do trenutka, ko so se ladje srečale v središču šestkotnika?
Galaktična liga, 1. del
Galaktična liga je najpomembnejše nogometno tekmovanje v Rimski cesti. Vsako leto v njem nastopa kar 10 000 ekip z vseh koncev naše Galaksije. Tipična sezona galaktične lige je sestavljena iz dveh delov. Začne se z rednim delom, v katerem vsaka ekipa proti vsakemu nasprotniku igra natanko dvakrat; enkrat doma in enkrat v gosteh. Predsednika tekmovanja zanima, koliko bo zaslužil s prodajo televizijskih pravic med rednim delom sezone, zato te prosi, da izračunaš, koliko tekem bo odigranih vse skupaj, potem ko bo vsaka ekipa odigrala vseh 19 998 načrtovanih tekem. Kaj je tvoj odgovor?
Galaktična liga, 2. del
Po rednem delu sezone se šest najuspešnejših ekip uvrsti v zaključni turnir. Gre za enega najbolj gledanih športnih dogodkov v Rimski cesti, ki ga bo prvič po 5000 letih znova gostila Zemlja. Zaključni turnir se igra na izločanje; ekipa A se v prvem obračunu pomeri z ekipo B, v drugem igra ekipa C proti ekipi D, v tretjem pa E proti F. Zatem se trije zmagovalci med seboj pomerijo, tako da vsak igra po enkrat s preostalima dvema. Tisti, ki ima na koncu največ točk, postane prvak galaktične lige.
Pred začetkom turnirja se z žrebom določi, katera od šestih uvrščenih ekip zasede mesto A, katera B, itd. Navadno je žreb potekal na sledeči način: organizatorji so pripravili navadno igralno kocko, s števili od 1 do 6. Vsaka ekipa je izbrala eno izmed števil. Nato so organizatorji kocko kotalili, dokler ni eno od izbranih števil padlo 5-krat; ta ekipa je zasedla mesto A. Zatem so nadaljevali s kotaljenjem, dokler ni drugo izbrano število padlo 5-krat; ta ekipa je zasedla mesto B, itd. Vendar je v zadnji izvedbi turnirja prišlo do incidenta, saj je bila kocka obtežena, zato od sedaj naprej žreb poteka nekoliko drugače.
Eno (6-strano) kocko pripravijo organizatorji, drugo kocko pa pripravi najboljša ekipa rednega dela sezone. Žreb poteka tako, da se vrže obe kocki hkrati in pri vsakem metu izračuna vsoto števil, ki sta padli na posameznih kockah. Prednost tega sistema je, da eni ne vedo, kako bodo drugi obtežili kocko, zato tudi ne vedo, kako se njim splača obtežiti kocko. Zaradi tega oboji raje pripravijo pošteno kocko. Od vseh vsot, ki jih je možno dobiti z dvema kockama, si vsaka ekipa izbere eno, potem pa žreb poteka podobno kot prej (prva, ki pade 5-krat je A, itd.). Najmanj koliko ploskev mora imeti kocka, ki jo pripravi prvouvrščena ekipa, da si bo lahko vsaka od šestih ekip izbrala vsoto z enako verjetnostjo?
Opomba 1: Z besedo kocka je mišljen majhen predmet, ki se uporablja za žrebanje, ki pa ni nujno v obliki geometrijske kocke. Posamezne ploskve so oštevilčene po istem principu kot na navadni 6-strani kocki; tetraedrična »kocka« ima na primer na eni ploskvi eno piko, na ostalih pa po dve, tri in štiri.
Opomba 2: Izbiraš lahko med Platonskimi telesi, ki so dovolj pravilne oblike, da ima vsaka ploskev enako verjetnost, da na njej pristane kocka. Platonska telesa so tetraeder, kocka, oktaeder, dodekaeder in ikozaeder, ki imajo po vrsti 4, 6, 8, 12 in 20 ploskev.
Škandal v Božičkovi delavnici
V delavnici igrač na severnem polu se že cel december pridno pripravljajo na božični večer. Nekega jutra so Božičkovi pomočniki zgroženi ugotovili, da je iz shrambe izginila velika vreča igrač. Seznam osumljencev so uspeli skrčiti na pet oseb, ki so imele v času tatvine dostop do shrambe. Kot svetovno znani detektiv si dobil nalogo, da odkriješ storilca.
Tvoja raziskava je pokazala, da so za izdelavo igrač zadolženi škratje in palčki. To so bitja z nenavadno lastnostjo; škratje vedno govorijo resnico, palčki pa vedno lažejo. Na tvojo nesrečo so škratje in palčki po videzu neločljivi, vendar veš, da imajo samo oni dostop do shrambe. Vseh pet osumljencev (zaradi varstva osebnih podatkov so označeni kot A, B, C, D in E) si zaslišal in si zapisal njihove izjave. Njihov nadzornik, ki se je predstavil kot škrat, ti je za vsakega posebej povedal, ali je škrat ali palček, kar si zapisal poleg izjav.
A (???): Če je C škrat, potem sem nedolžen.
B (škrat): Nedolžen je natanko eden izmed C in D, če in samo če je krivec natanko eden izmed D in E.
C (palček): ???
D (palček): Med nami so vsaj trije škratje.
E (škrat): Krivec je natanko eden izmed B in C.
Med preučevanjem izjav se ti po nekaterih podatkih polije kava (označeno z vprašaji). Po razmisleku olajšan spoznaš, da lahko kljub temu določiš krivca. S katero črko je označen?
Podzemna zakladnica
S prijateljem sta odkrila star zemljevid, ki prikazuje pot do skritega zaklada. Ko sta se poskušala prebiti do zaklada, vaju je ujel stari čarovnik in vaju zaprl v podzemno ječo. Tam vama je razložil, da je zaklad njegova last in da ga bo podedoval tisti, ki bo kos njegovemu preizkusu. Čarovnik vama nato razkrije potek preizkusa. Pove vama, da se v sosednji sobi nahaja miza, na kateri ena poleg druge stojijo ena manjša in tri večje posodice (v tem vrstnem redu), za mizo pa v ravni vrsti osem skrinj, ki so polne dragocenosti. Posamezna skrinja lahko vsebuje zlato, srebro ali platino, vendar je razporeditev povsem naključna. Možno je recimo tudi, da vse skrinje vsebujejo isto žlahtno kovino.
Najprej bosta s prijateljem dobila nekaj časa, da se domislita čim boljše strategije. Nato boš zapustil ječo in dobil možnost, da pogledaš v vsako skrinjo ter si zapomniš, katera žlahtna kovina je v njej. Nobene skrinje ne smeš premakniti ali označiti. Zatem boš od čarovnika dobil 32 kamenčkov, ki jih lahko na poljuben način razporediš v posodice. Pri tem ni nujno, da porabiš vse kamenčke, posodice pa lahko pustiš tudi prazne. Edina omejitev je velikost posodic; v manjši je prostora za največ šest kamenčkov, v večjih pa za devet. Vrstnega reda posodic ne smeš spreminjati.
Ko končaš z razporejanjem, te bo čarodej odvedel nazaj v ječo, v sobo pa bo prišel tvoj prijatelj. Glede na razporeditev kamenčkov v posodicah bo skušal napovedati, katera žlahtna kovina je v posamezni skrinji. Če pravilno določi vsebino vseh osmih skrinj, vaju bo čarovnik izpustil in vama prepustil zaklad. V nasprotnem primeru bosta za vedno ostala v ječi. S kakšno strategijo razporejanja kamenčkov si lahko s prijateljem zagotovita prostost in bogastvo?
2022/2023
Uganke piše in ureja: Hugo Trebše
Začarani krog
Med eno izmed tvojih pustolovščin te je zlobna (a vendar zelo inteligentna) pošast zaprla v temačen krožni rov. Ker pošast ne jé inteligentnih bitij ti je postavila nalogo, s katero bo preverila ali si primeren za njen naslednji obrok. V krožni rov je postavila vsaj dve krožni luči, ki jih, ko prideš do njih, lahko ugasneš, prižgeš ali ignoriraš, ne smeš pa jih označiti na kakeršenkoli drugi način. Na začetku je nekaj luči v rovu prižganih in nekaj ugasnjenih (lahko so prižgane vse ali ugasnjene vse luči). V rovu lahko naenkrat vidiš le eno luč, ker pa je rov na tvojo srečo temačen, lahko opaziš tudi ugasnjeno luč. Pošast zahteva da ugotoviš skupno število luči. S kakšno strategijo lahko zagotoviš, da ne boš pristal na njenem jedilniku?
45 minut
Igor ima dve vžigalni vrvici, ki ne gorita enakomerno. Obe vrvici potrebujeta
1 uro, da se iskra premakne iz enega konca vrvice do drugega. Kako lahko Igor
s pomočjo vrvic izmeri čas 45 minut?
Zlatniki na okrogli mizi
Anastazija in Bogdan igrata igro z zlatniki na okrogli mizi. Nanjo izmenično polagata zlatnike, ki morajo biti v celoti na mizi in se ne smejo prekrivati. Igralec, ki ne more postaviti zlatnika na mizo, izgubi. Kateri izmed igralcev lahko zagotovi svojo zmago, če igro začne Anastazija?
Kdo je vitez?
Logik se znajde na otoku vitezov in oprod, na katerem oprode vedno lažejo, vitezi pa vedno govorijo resnico. Ko naleti na dva otočana enemu poda vprašanje: »Ali je kdo izmed vaju vitez?« Ko mu otočan odgovori logik spozna odgovor na svoje vprašanje.
Kaj je bila oseba na katero se je obrnil logik; vitez ali oproda? Katerega stanu je bil drugi otočan?
Zaklad ali katakombe
Logik se znajde pred dvema identičnima vhodoma. En izmed vhodov vodi do zaklada, drugi pa v katakombe, logik pa žal ne ve kateri vodi kam. Vrata stražita dva stražarja – vitez in oproda. Vitez vedno govori resnico, oproda pa vedno laže. A glej ga zlomka, vitez in oproda sta na pogled neločljiva! Logik ima na voljo eno vprašanje, ki ga lahko postavi enemu izmed stražarjev. Katero vprašanje bo logika vodilo do zaklada?
Zahrbtni zaklad
Na svoji arheološki pustolovščini ti je uspelo najti poseben zaklad – ogromen kup kovancev, ki so zlati na eni in srebrni na drugi strani. Na tvojo grozo zaklad varuje ekscentrična pošast, ki ti bo prepustila svoje kovance le pod pogojem, da pravilno opraviš nalogo: V temi, torej ne da bi poznal razporeditev kovancev, moraš kup razdeliti na dva manjša kupa, ki bosta oba vsebovala enako število z zlato stranjo gor obrnjenih kovancev, pri čemer je tvoja edina možna poteza, da nekaj izmed kovancev obrneš (kovancev ne smeš postaviti na njihov rob). Veš le, da je bilo na začetku 49 kovancev obrnjenih z zlato stranjo gor. Kako moraš ravnati, da se boš okoristil za obilen zaklad?
Logiki in rdeča pika
V zaporu je zaprtih 99 logikov, nekaterim izmed njih pa je bila na čelo narisana rdeča pika. Logikom je medsebojna komunikacija prepovedana; lahko vidijo kaj imajo vsi ostali logiki na čelu, žal pa nimajo načina preveriti, ali so bili označeni. Na koncu vsakega dneva je zapornikom predstavljena dilema: vsak zapornik lahko stopi skozi vrata zapora; v primeru, da ima na čelu rdečo piko mu odhod ne bo preprečen, če pa na čelu pike nima, bo zaprt v temnico. Ko zapor zapustijo vsi logiki, ki imajo na čelu rdečo piko, bodo izpuščeni tudi vsi ostali logiki, ki niso zaprti v temnici. Ker so logiki solidarni, je njihov cilj, da zapustijo zapor vsi. Denimo, da ima 51 logikov na čelu rdečo piko. V najmanj koliko dneh bodo vsi izpuščeni, če logiki sklepajo popolno?
